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Material für den Informatikunterricht

a² + b² = c²; ein sokratischer Dialog



"Das rote und das blaue Quadrat sind zusammen so groß wie das gelbe Quadrat. Kann man das beweisen?"

"Alles schreddern und dann wiegen."

"Funktioniert zwar, ist aber eine schlechte Idee, weil dann alles kaputt ist."

"Was haben denn die drei Quadrate miteinander zu tun?"

"Sie umgeben ein rechtwinkliges Dreieck. Es gibt viele Dutzende Beweise für den berühmten Satz des Pythagoras (um 500 v. Chr.), dass die beiden Quadrate über dem Dreieck zusammen genauso groß sind wie das Quadrat darunter. - Gib mir mal vier von diesen Dreiecken. Ich lege sie als zwei Rechtecke an das rote und blaue Quadrat an, siehst du, Figur 2. Wenn ich nur die Kanten von Figur 2 nehme, dann habe ich (a + b)². - Jetzt bist du dran."

"Was soll ich tun?"

"Du bekommst auch vier von diesen Dreiecken für dein gelbes Quadrat."

"Her damit. Ich lege sie
um dieses gelbe Quadrat hier, Figur 3.
Und wo ist jetzt der Beweis?"

"Figur 2 und Figur 3 sind gleich groß."

"Geht’s etwas genauer?"

"Geht! Sieh' dir die Maße an: Die Seitenlänge ist in allen Fällen a + b."

"Das soll der Beweis sein?"

"Nimm bei beiden zusammengesetzten Figuren das Gleiche weg, nämlich alle Dreiecke."

"OK, sind weg."

"Und erinnere dich, dass vorher Figur 2 und 3 gleich groß waren."

"Dann ist der eine Rest,
also das gelbe Quadrat,
genauso groß wie der andere Rest,
nämlich das rote und das blaue Quadrat zusammen."

"Ich wollte es gerade sagen: c² = a² + b²."

"Gilt das immer?"

"Natürlich nicht! Nur bei den Quadraten um rechtwinklige Dreiecke."

Vorsicht!

Vor einem beliebten Fehler soll noch gewarnt werden: Wenn ich die Strecken oder Werte a und b habe, dann führt der Weg zu c nur über die Quadrate der Katheten, deren Summe ist gleich dem Hypotenusenquadrat, und aus der Summe der Quadrate kann ich dann die Wurzel ziehen, um c zu erhalten. Wenn also a = 3 und b = 4 ist, dann ist eben nicht "c = 3 + 4 = 7", sondern c² = 3² + 4² und die Wurzel aus 25 ist halt 5.

Test

Um wieviel ist die Diagonale im Quadrat länger als die Seitenlinie? Tip: Die Seite des Quadrates soll a heißen und die Diagonale im Quadrat kann ich auch als Grundlinie (Hypotenuse) eines rechtwinkligen Dreiecks ansehen...

Links:

Die Figur 2 ist noch an anderer Stelle des Mathematikunterrichts interessant: zur Veranschaulichung der binomischen Formel a² + 2ab + b² = (a + b)²

© Michael Kraus, August - November 2008