Annäherung an die Kreiszahl π

Material für den Informatikunterricht

Annäherung an die Kreiszahl π

In welchem Verhältnis stehen Umfang und Durchmesser eines Kreises zueinander?
Dieses Verhältnis wird "pi" genannt, vom griechischen Buchstaben π. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler führte diese Bezeichnung um 1730 als Anspielung auf "Peripherie" = Umgebung, Umfang ein. Archimedes (um 250 v.Chr. in Sizilien) hat eine der frühesten mathematischen Lösungen vorgelegt, indem er in den Kreis ein Sechseck einbeschrieb und dann das Sechseck verdoppelte zum Zwölfeck, Vierundzwanzigeck usw. Man nähert sich so dem Kreis an (siehe Zeichnung). In der Berechnung bezieht sich jedes Polygon auf das Polygon mit halber Eckenzahl, d.h. das Zwölfeck bezieht sich auf das Sechseck, das Vierundzwanzigeck bezieht sich auf das Zwölfeck usw. a₆ ist hier in der Zeichnung eine Seite des Sechsecks, b₁₂ eine Seite des Zwölfecks, b₂₄ eine Seite des Vierundzwanzigecks.
Die mathematische Hürde, die zu nehmen ist, ist diese:

In welchem Verhältnis stehen die immer kleiner werdenden Strecken der Polygone (hier a₆, b₁₂, b₂₄ usw.) zum Durchmesser?
In welchem Verhältnis stehen die immer kleiner werdenden Strecken der Polygone zueinander? Diese Strecken halbieren sich ja nicht einfach.
Zur Berechnung benutzt man den Einheitskreis, also einen Kreis mit Radius = 1. Das hat den Vorteil, dass man eine Standardlösung erhält, die dann auf alle Kreise mit ihren unterschiedlichen Radien angewendet werden kann – denn bei einem Verhältnis (nämlich Umfang zu Durchmesser) kommt es auf die absoluten Größen nicht an.
Die mathematische Auflösung nach Pythagoras (um 530 v.Chr. in Griechenland) für das 12-Eck:
b₁₂²=y₁₂²+(a₆/2)²
x₁₂²=1-(a₆/2)²
y₁₂=1-x₁₂
Das bedeutet also, dass sich die Berechnung auf die Frage reduziert: In welchem Verhältnis steht b zu x und y? Den Wert für a hat man ja noch vom vorhergehenden Polygon und die Frage nach dem Verhältnis von b zu x und y ist die Frage, was die immer kürzeren Strecken der Polygone mit den Teilstrecken, die den Radius bilden, zu tun haben.

In der Tabellenkalkulation bezieht sich ebenso wie hier in der Zeichnung der jeweils nächste Wert auf den in der Zeile darüber berechneten Wert des vorigen Vielecks (siehe unten die Formel für Spalte B und C); es handelt sich um Variablen.

In dieser Tabelle ist unterstellt, dass sie ohne Überschrift in der 1. Zelle links, also in Zelle A1 beginnt. Dass jede Formel in Works oder Excel mit einem Gleichheitszeichen beginnt, wird hier nicht jedesmal dazugeschrieben.

In Zelle B2 wird - siehe Zeichnung - direkt der Wert 1 eingetragen: Die Genialität von Archimedes bestand eben darin, mit einem Sechseck anzufangen und nicht mit einem Quadrat; beim Sechseck, das man sich ja aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt vorstellen kann, ist x = r.
Zelle C2 ist ebenfalls 1, weil beim Sechseck r und x noch identisch sind: Es gibt noch keinen Bezug auf ein einfacheres Polygon, also ist beim Sechseck y noch nicht definiert.
Zelle D2 hat beim Sechseck den Wert Null.
In Zelle E2 kommt man schon zum Prinzip, nämlich zur Formel für π = B2*A2/2, denn b * Zahl der Ecken = Umfang und 2 = Durchmesser im Einheitskreis (man erinnere sich, dass wir hier im Einheitskreis mit Radius 1 rechnen).

So richtig ans Arbeiten kommt die Tabellenkalkulation ab Zeile 3:

Zelle A3 bekommt die Formel A2*2
Zelle B3 enthält den Wert für die Seitenlänge des Zwölfecks, so dass also aus b²=y²+(a/2)² die Wurzel gezogen wird: b = WURZEL(D3² + (B2/2)²). In der Syntax der Tabellenkalkulation WURZEL((D3^2)+(B2/2)^2). Man beachte, dass hier ein Bezug auf die darüber liegende Zeile, hier Zeile 2, hergestellt wird: Das Zwölfeck bezieht sich auf das Sechseck usw., siehe das türkisfarbene Dreieck mit der Hypothenuse b₁₂. Diese Zelle bekommt erst dann ihren korrekten Wert, wenn auch in Zelle D3, auf die sie sich ja bezieht, ein korrekter Wert steht; also bitte Geduld.
Zelle C3 enthält den Wert für x. Das ist das Stück des Radius', von dem eine Kathete des kleinen Dreiecks im jeweiligen Polygon subtrahiert wird (siehe Zeichnung): x²=r²-(a/2)² bezieht sich auf Zelle B2, also x = WURZEL(r-B2²)/4); damit haben wir die Formel für Zelle C3 im Einheitskreis, nämlich WURZEL(1-(B2^2)/4).
Zelle D3 stellt kein Problem dar: 1 - C3, um an den Wert der zweiten Kathete zu kommen (siehe Zeichnung). Erst mit diesem Wert kann dann die Zelle B3 korrekt arbeiten.
Spalte E schließlich, Annäherung an π; B3*A3/2, denn b * Zahl der Ecken = Umfang und 2 = Durchmesser im Einheitskreis.

Diese Formeln greifen gegenseitig aufeinander zu und funktionieren daher erst dann, wenn alle Formeln eingetragen sind. Alle Formeln werden in die Zeile des Zwölfecks eingetragen und dann nach unten ausgezogen.
Die Zahl der Ecken läuft bei diesem Verfahren des Archimedes auf ∞ zu, die einzelne Seitenlänge der Vielecke auf Null, die Strecke x, also der Radius minus eine Kathete des immer kleiner werdenden Dreiecks unter dem Vieleck (siehe Zeichnung) läuft auf 1 zu, weil die besagten Seiten der Polygone immer mehr auf Null zulaufen – und das Verhältnis Umfang der Polygone zu ihrem Durchmesser wird immer mehr zu π.

Kurz und gut: Hier ist das Excel-Blatt.